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奇幻玄幻《考研自控851知识分享》目前已经全面完结，梅孙增益梅孙增益之间的故事十分好看，作者“起名好麻烦不起了”创作的主要内容有：常用的拉式变换反变换：单位脉冲函数-δ-1单位阶跃函数-1-1单位斜坡函数-t-1(s^2)单位加速度函数-(12)(t^2)-1(s^3)sin(wt)-w(s^2 w^2)cos(wt)-s(s^2 w^2)e^(-at)-1(s a)以上就是必须需要熟记的拉式变换对。但是，我们的系统传递函数通...

考研自控851知识分享第2章 拉普拉斯变换在线免费阅读

前情提要：上一章我简单介绍了什么是本门课的重点，系统是我们的重点研究对象。

关于系统，我们可以进行进一步的理解，如果你还记得系统框图是如何绘制的，请回想一下，是不是一个框的前后都有着一条线？进去的为输入，出去的为输出，中间的就是系统。而进一步，我们不需要考虑框图中间是什么，只需要找到一个进去的箭头，一个出去的箭头，在两者之间的部分，这个中间的整体就是一个大的系统。

上一章我也提到一点，实验法对系统进行简易测量，通过输入和输出得到系统的传递函数。而在自动控制原理这门课中，拉普拉斯变换是贯穿始终的。当然我们不必过多关注拉普拉斯变换和反变换的原理，这是其他科目需要掌握的技能，在自控中，这项技能只需了解，最需要的就是熟记常用的几个变换反变换以及对应的性质。

常用的拉式变换反变换：

单位脉冲函数 - δ- 1

单位阶跃函数 - 1 - 1

单位斜坡函数 - t - 1(s^2)

单位加速度函数 - (12)(t^2) - 1(s^3)

sin(wt) - w(s^2 w^2)

cos(wt) - s(s^2 w^2)

e^(-at) - 1(s a)

以上就是必须需要熟记的拉式变换对。但是，我们的系统传递函数通常是很复杂的，无法直接进行反变换，不过我们仍然有方法进行解决。在介绍这个方法之前，我需要提前说一下，拉普拉斯反变换通常不是考察重点，但仍然有考察的空间存在，同时在下面介绍的长除法仍然是分析系统动态响应的必备技能。

首先就是最简单的最直接的分数分解，可能名字不太对，不过只需要知道是将分母化为能够进行反变换的形式，通常是进行因式分解，找到分母的根（注：很少能看到sin(wt)、cos(wt)的因式，因此优先找出一次项），然后对分子进行待定系数法或者留数法计算，这里就不展开讲解了，数学一的学习过程中会接触到的，但留数法可以自行学习一下，但不是必须的，你会待定系数法也能完成解题了。

下面介绍长除法，长除法顾名思义，即除法，是从小学我们就学过的除法，所以没接触过的朋友不要担心，这个方法很简单。

在介绍长除法之前，我们需要提一下拉式变换的积分变化性质和导数变化性质：

sF(s) = 对时域函数求导

s^(n)F(s) = 对时域函数求n次导

1 F(s) = 对时域函数求积分

上面这几个性质务必熟悉，这个可以帮你更好的理解后面的PID到底是什么，什么是积分环节，什么是微分环节。在这里简单提一次，看的多了也就记住了，积分环节即对输入的时域信号进行积分，对应到复频域「s」即传递函数为1的框图。微分即s的框图。PID是中P是比例环节，I是积分环节，D是微分环节，这个实际上是取自他们的英文「Proportion」「Integration」「Derivation」的首字母，如果英语比较好可以顺便积累一下。顺带我介绍一下我的记忆方法，P这个比例环节就无所谓了，主要是ID分不清，那就先记D，数学中的求导dy，前面不就有d吗？这样就知道D是求导，求导就是微分，微分就是s ，这样I也就记住了。

顺带还有实位移定理，初值定理，终值定理，这三个很重要，其他的一些性质也有用，但考察不是特别多，顺便记下吧。公式自己上网顺手查一下吧。

言归正传，长除法，在离散系统中也会考的哦，毕竟对系统动态误差分析嘛~就会有这个东西存在。

我们得到的传递函数是分数，需要做的就是化分数为长式，嘛，分数计算总会吧，一样的，分子除以分母即可。注意，我们在进行「s」的长除时，想获得的是什么？是长式，那什么样的长式才能写在卷子上呢？毕竟传递函数要是能整除我们又何必这么计算呢？来来来！还记得我刚刚介绍的微分性质吗？有一个s就求一次导，C(s)(s) = G(s) ， 其中G(s)进行长除法获得了s s^2 s^3 ......这么长的式子（系数记得要加上，我这里没写），进而:

C(s) = R(s) (s s^2 s^3 ......)

如果这时候我们打开括号就会得到：

C(s) = sR(s) s^2R(s) s^3R(s) ......

这时候进行反变换，使用微分定理：

c(t) = r(t) r(t) r(t) ......

诶，发现了吗？出现了高阶导数，而输入函数是随时间变换的，是有具体表达式的！通常是能够求导几次后归零的，那还等什么？求导然后代入啊！于是我们获得了c(t)随时间变换的函数，那问t=20时c(t)的值不就能求了？至此，线性系统的动态问题解完了。

那么最后一个问题，长除到底该怎么写呢？8945978 会求吗？会列除法竖式吗？嗯，一样的，你已经会列长除的式子了（注：希望不会有人把这一步写到答题卡上）

不过需要注意顺序，不过我认为这其实不是问题了，分子降幂还是升幂排列？分母是降幂升幂排列？无所谓，记住你的目标是求s，利用微分性质，s的幂次会越来越高，如果发现出现s^(-1)次了，那就换一下顺序就好了。而这一步就会跟后面的离散系统动态性能分析产生混淆，简单提一下，后面学到自然就想起来了。离散系统动态性能需要的是z^(-n)，求的时候要注意。

综上，拉式变换很简单很基础，背变换对，牢记性质，然后注意分数分解和长除法的应用，这样就足够了。

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